\(\def\e{\mathrm{e}} \def\d{\mathrm{d}} \def\g{\mathrm{g}} \def\j{\mathrm{j}} \def\Sa{\mathrm{Sa}} \def\fr{\mathscr{F}} \def\rect{\mathrm{rect}} \def\Fourier{\xrightarrow{\fr}}\)
三、随机过程
宽平稳过程
若随机过程的一维、二维分布函数和概率密度函数不受时移影响，则为宽平稳随机过程
定义
若随机过程$\xi(t)$的二阶矩存在，且满足：
- $E[\xi(t)]$是常数
- $E[\xi(t)\xi(t + \tau)]=R(\tau)$
性质
各态历经性
平稳过程的统计平均等于其任一实现的时间平均。
\[\left\{ \begin{aligned} a &= \overline{a} = \overline{x(t)} \\ R(\tau) &= \overline{R(\tau)} = \overline{x(t)x(t+\tau)} \end{aligned} \right.\]平稳过程自相关与功率谱
自相关性质
- $R(0) = E[\xi^2(t)]$表示$\xi(t)$的平均功率；
- $R(\tau) = R(-\tau)$；
- $|R(\tau)| \leqslant R(0)$；
- $R(\infty) = a^2$表示$\xi(t)$的直流功率；
- $R(0)-R(\infty) = \sigma^2$表示平稳过程的$\xi(t)$交流功率，当$a=0$时，有$R(0)=\sigma^2$。
平稳过程功率谱
\[P_{\xi}(f) = E[P_x(f)] = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{E|X_T(f)|^2}{T}\]维纳辛钦定理
\[R(\tau) \Fourier P(\omega)\]结论
- 平均功率$R(0)$；
- $P_{\xi}(f) \geqslant 0$；
- $P_{\xi}(-f) = P_{\xi}(f)$。
平稳过程通过线性系统
若$\xi_i(t)$是平稳过程，经过线性系统后的$\xi_o(t)$也是平稳过程
高斯噪声
窄带随机过程
\[\xi(t)=a_{\xi}(t) \cos(\omega_c t + \varphi_{\xi}(t))\]随机包络$a_{\xi}(t) \geq 0$和随机相位$\varphi_{\xi}(t) \in [0, 2\pi]$相对于载波的变化要缓慢得多
均值为0，方差为$\sigma_{\xi}^2$的窄带高斯过程：
- $\xi_c(t)$和$\xi_s(t)$也是均值为0的平稳过程
- 具有相同的方差，具有相同的平均功率
- $\xi_c(t)$和$\xi_s(t)$也是高斯过程
- 同一时刻$\xi_c(t)$和$\xi_s(t)$不相关且独立
- 包络的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是均匀分布，且是统计独立的
加性噪声
起伏噪声－ 热噪声、散弹噪声、宇宙噪声
高斯白噪声
功率谱密度在整个频域内均匀分布，称之为白噪声，实际系统为近似白噪声
如果白噪声在任一时刻取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声
高斯白噪声在任意两个不同时刻的取值相互独立
窄带高斯白噪声
使用等效带宽的概念，可以认为窄带噪声功率谱Pn( f )在带宽Bn内是平坦的，等于Pn( f0 )
正弦波加窄带高斯噪声
包络z(t) 的概率密度分布服从广义瑞利分布（莱斯分布）
频域特性：窄带噪声功率谱+ 线谱
当小信号时，退化为窄带噪声的分布特性
当大信号时，包络近似为高斯分布
其它情况下，合成信号的包络为广义瑞利分布
随机过程通过乘法器
